Question

【题目】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．

（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM﹣∠NOC的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线ON平分∠AOC．理由：

设ON的反向延长线为OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC=∠MOB，

又∵OM⊥ON，

∴∠MOD=∠MON=90°，

∴∠COD=∠BON，

又∵∠AOD=∠BON（对顶角相等），

∴∠COD=∠AOD，

∴OD平分∠AOC，

即直线ON平分∠AOC

（2）10或40
（3）解：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°

【解析】解：（2）∵∠BOC=120°

∴∠AOC=60°，

∴∠BON=∠COD=30°，

即旋转60°时ON平分∠AOC，

由题意得，6t=60°或240°，

∴t=10或40；

（1）根据角平分线的定义得出∠MOC=∠MOB，再根据同角的余角相等得出∠COD=∠BON，然后根据对顶角相等及等量代换得出结论。
（2）根据邻补角的定义求出∠AOC的度数，则∠BON=30°，因此旋转60°或240°时ON平分∠AOC，从而得出6t=60°或240°，即可求得t的值。
（3）根据已知易得∠AOC=60°，而∠AOM=90°﹣∠AON，∠NOC=60°﹣∠AON，再求差即可求得结果。