Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．

（1）D点的坐标是 ， 圆的半径为；
（2）求经过C、A、B三点的抛物线所对应的函数关系式；
（3）设抛物线的顶点为F，试证明直线AF与圆D相切；
（4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CBN面积最大，最大面积是多少？并求出N点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）（5，4）；5
（2）

解：如图1所示：

∵D（5，4），

∴E（5，0）．

∴A（2，0）、B（8，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），将点C的坐标代入得：16a=4，解得：a= ，

∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x+4．

（3）

解：∵y= x2﹣ x+4，

∴抛物线的顶点坐标F（5，﹣ ）．

∴DF=4+ = ，AF= = ．

又∵AD=5．

∴AD2+AF2=DF2，

∴△DAF为直角三角形．

∴∠DAF=90°．

∴AF是⊙D的切线．

（4）

解：如图2所示：过点N作NP∥y轴，交BC与点P．

设BC的解析式为y=kx+4，将点B的坐标代入得：8k+4=0，解得k=﹣ ．

∴BC的解析式为y=﹣ x+4．

设N点坐标（a， a2﹣ a+4），则点P坐标为（a，﹣ a+4）．

∴NP=﹣ a+4﹣（ a2﹣ a+4）=﹣ a2+2a．

∴S△ABC=S△CPN+S△PBN= ×BO×PN= ×8×（﹣ a2+2a）=﹣（a﹣4）2+16．

∴当a=4时，S△ABC最大，最大值为16，此时，N（4，﹣2）．

【解析】解：（1）连接CD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD．

∵DE⊥AB，
∴AE= AB=3．
∵⊙D与y轴相切，
∴DC⊥y轴．
∵∠COE=∠OED=∠OCD=90°，
∴四边形OCDE为矩形．
∴OC=DE．
∵C（0，4），
∴DE=4．
在Rt△AED中，AD= =5．
∴⊙D的半径为5．
∴D（5，4）．
所以答案是：（5，4），5．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．