Question

【题目】解答题
（1）将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是 ， ∠CAC′=°．

（2）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）A′D；=90°
（2）

EP=FQ，

证明：∵△ABE是等腰直角三角形，

∴∠EAB=90°，即∠EAP+∠BAG=90°，又∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠EAP=∠ABG，

在△APE和△BGA中，

，

∴△APE≌△BGA，

∴EP=AG，

同理，FQ=AG，

∴EP=FQ；

（3）

HE=HF，

证明：作EP⊥GA交GA的延长线于P，作FQ⊥GA交GA的延长线于Q，

∵四边形ABME是矩形，

∴∠EAB=90°，即∠EAP+∠BAG=90°，又∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠EAP=∠ABG，又∠APE=∠BGA=90°，

∴△APE∽△BGA，

∴ = ，即AG=kEP，

同理△AQF∽△CGA，

∴ =k，即AG=kFQ，

∴EP=FQ，

∵EP⊥GA，FQ⊥GA，

∴EP∥FQ，又EP=FQ，

∴HE=HF．

【解析】解：（1）如图2，由旋转的性质可知，△ABC≌△A′C′D，
∴BC=A′D，∠ACB=∠C′AD，又∠ACB+∠CAB=90°，
∴∠C′AD+∠CAB=90°，即∠CAC′=90°，
所以答案是：A′D；=90°；
【考点精析】认真审题，首先需要了解旋转的性质(①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了)．