Question

【题目】如图，线段、相交于，连结、，我们把形如图的图形称之为“”字形，如图，在图的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，试解答下列问题：

(1)在图中，请直接写出、、、之间的数量关系：__________

(2)仔细观察，在图中“”字形的个数：______个；

(3)图中，当度，度时，求的度数.

(4)图中和为任意角时，其它条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系？(直接写出结果，不必证明)

Answer 1

【答案】(1)；(2)6；(3)；(4).

【解析】

(1)根据三角形的内角和定理以及对顶角相等列式整理即可得解；

(2)根据顶点找出“8字形”的个数即可；

(3)根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，根据“字形”性质可得：①，②，继而可得，代入相关数据即可求得答案；

(4)根据(3)的推导方法即可求得结论.

(1)根据三角形的内角和定理，∠AOD+∠A+∠D=180°，∠BOC+∠B+∠C=180°，

∵∠AOD=∠BOC(对顶角相等)，

∴，

故答案为：∠A+∠D=∠B+∠C；

(2) 以点O为顶点的“8字形”有△AOD和△BOC，△AOM和△CON，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，

以点M为顶点的“8字形”有△ADM和△CMP，

以点N为顶点的“8字形”有△ANP和△BCN，

共有6个，

故答案为：6；

(3)如图2，平分，平分，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

根据“字形”性质可得：

①，

②，

由①②得，

，

，

又，，

，

；

(4)，理由如下：

如图2，平分，平分，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

根据“字形”性质可得：

①，

②，

由①②得，

，

即.