Question

【题目】如图、矩形ABCD中，AB=8，AD=6．点M是对角线AC上的一个动点，以M点为圆心，线段AM长为半径画一个⊙M，若⊙M在以C为端点的矩形ABCD边上截得的线段EF=AM，则线段AM的长是 ．

Answer 1

【答案】或5．

【解析】

试题分析：作MN⊥EF于N，连接MF，由垂径定理得出EN=FN=EF，设AM=5x，则MF=5x，EF=6x，得出FN=3x，由勾股定理得出MN=4x，由矩形的性质和勾股定理求出AC，由平行线的性质得出比例式求出MN=（10﹣5x），得出方程（10﹣5x）=4x，解方程求出x，得出AM；当M为AC的中点时，AM=MC，得出方程，解方程求出x，得出AM即可．

解：作MN⊥EF于N，连接MF，如图所示：

则EN=FN=EF，∠MNF=90°，

∵EF=AM，

∴设AM=5x，则MF=5x，EF=6x，

∴FN=3x，

由勾股定理得：MN==4x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD=6，∠D=∠B=90°=∠MNF，

∴AC==10，MN∥AD，

∴，

即，

解得：MN=（10﹣5x），

∴（10﹣5x）=4x，

解得：x=，

∴AM=；

当M为AC的中点时，AM=MC，

即5x=10﹣5x，

解得：x=1，

∴AM=5；

综上所述：线段AM的长是或5．

故答案为：或5．