Question

【题目】已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．

（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD的长；

（2）如图②，若∠CAB=60°，CF⊥BD，①求证：CF是⊙O的切线；②求由弦CD、CB以及弧DB围成图形的面积．

Answer 1

【答案】⑴AC=8,BD=5；⑵①证明见解析；②.

【解析】试题分析：（1）要求AC的长，将AC放在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得；要求BD的长，先证明△BCD为等腰直角三角形，再结合勾股定理可求出；（2）①连接OC，证明∠OCF=90°即可；②通过证明△CGD≌△OGB，可以得到S△CGD=S△OGB，由此将阴影部分面积转化为扇形DOB的面积，利用扇形面积公式求出即可.

试题解析：

（1）∵BC为⊙O的直径，

∴∠CAB=∠CDB=90°，

∵BC=10，AB=6，

∴AC==8，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠DAB=45°，

∴CD=BD，

∵CD2+BD2=BC2，

∴2BD2=100，

∴BD=5；

（2）

连接CO、OD、OB，

∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，

∴∠CDB=120°，∠COB=120°，∠CAD=∠DAB=30°，

∴∠CDF=60°, =,

∴∠COD=∠BOD=60°，

∵OC=OD,

∴∠OCD=60°，

∵CF⊥BD，

∴∠CFD=90°，

∴∠DCF=30°，

∴∠OCF=90°，

∴CF是⊙O的切线；

∵OC=OB，∠COD=∠BOD，

∴OG⊥BC，

∵∠OCD=60°，∠COD=60°，

∴△COD为等边三角形，

∴OG=GD，∠CDG=∠DOB=60°，

在△CGD和△OGB中，

，

∴△CGD≌△OGB，

∴S△CGD=S△OGB，

∴S阴影=S扇形BOD==.