Question

【题目】问题提出：将一个边长为n（n≥2）的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点， 则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少呢？

问题探究：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律

探究一：将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？

如图1，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下：共有1+2+3=6个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，共有1+2=3个，线段数为3×3=9条；边长为2的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×（1+2+1）=2×（1+2+3）=12条线段．

探究二：将一个边长为3的正三角形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？

如图2，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下：共有1+2+3+4=10个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，共有1+2+3=6个，线段数为3×6=18条；边长为2的正三角形有1+2=3个，线段数为3×3=9条，边长为3的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×（1+2+3+1+2+1）=3×（1+2+3+4）=30条线段．

探究三：

请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正三角形的三条边四等分（图3），连接各边对应的等分点，该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？

（画出示意图，并写出探究过程）

问题解决：

请你仿照上面的方法，探究将一个边长为n（n≥2）的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？（写出探究过程）

实际应用：

将一个边长为30的正三角形的三条边三十等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？

Answer 1

【答案】探究三：结点个数为10个，线段数为60条；问题解决：结点个数为个，线段数为条；实际应用：结点个数为465个，线段数为14880条

【解析】

探究三：根据探究一和探究二的方法求解即可；

问题解决：根据探究一、探究二、探究三的过程总结规律即可；

实际应用：根据“问题解决”中总结的规律求解即可．

解：探究三：如图3中，

连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下：共有1+2+3+4+5=15个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，第四层有4个，共有1+2+3+4=10个，线段数为3×10=30条；边长为2的正三角形有1+2+3=6个，线段数为3×6=18条，边长为3的正三角形有3个，线段数为3×3=9，边长为4的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×(1+2+3+4+1+2+3+3+1)=4×(1+2+3+4+5)=60条线段．

∴该三角形被剖分的网格中的结点个数为10个，线段数为60条；

问题解决：探究将一个边长为n(n≥2)的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点，从上往下：共有1+2+3+4+5+…n=个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，第四层有4个，第n层有n个，共有(1+2+3+4+…+n)个，线段数为3×(1+2+3+4+…+n)条；边长为2的正三角形有1+2+3=6个，线段数为3×6=18条，边长为3的正三角形有3个，线段数为3×3=9，边长为4的正三角形有1个，线段数为3条，…边长为n的三角形1个，线段数为3，总共有n(1+2+3+…+n+1)=．

∴该三角形被剖分的网格中的结点个数为个，线段数为条；

实际应用：将一个边长为30的正三角形的三条边三十等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数为=465个结点个数，线段总数==14880条线段．

该三角形被剖分的网格中的结点个数为465个，线段数为14880条．