Question

【题目】如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C、D分别在边OA、OB上的点．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．

（1）如图1，求证：OH＝AD，OH⊥AD；

（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，⑴中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析

【解析】

（1）只要证明△AOD≌△BOC（SAS），即可解决问题；

（2）如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，证明△BEH≌△CHO（SAS），可得OE=2OH，∠EBC=∠BCO，证明△BEO≌△ODA（SAS）即可解决问题；

（1）∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．

∴OC＝OD，OA＝OB

在△AOD与△BOC中

∴△AOD≌△BOC（SAS）

∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD

∵点H是BC的中点，∠AOB＝90°

∴OH＝HB＝

∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，OH＝

∵∠OAD＋∠ADO＝90°

∴∠ADO＋∠BOH＝90°

∴OH⊥AD

（2）（1）中结论成立；如图，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，CE

∵CH＝BH

∴四边形BOCE是平行四边形

∴BE＝OC，EB∥OC，OH＝OE

∴∠EBO＋∠COB＝180°

∵∠COB＋∠BOD＝90°，∠BOD＋∠1＝90°

∴∠1＝∠COB

∵∠AOD＋∠1＝180°

∴∠AOD＝∠EBO

∴△BEO≌△ODA

∴∠EOB＝∠DAO，OE＝AD

∴OH＝AD

∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°

∴OH⊥AD

【点晴】

本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，构造全等三角形解决问题是解题的关键.