【题目】已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E，点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF

（1）求AE和BE的长；

（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）.当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值；

（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】（1）4，3；（2）当点F在线段AB上时，；当点F在线段AD上时，；

（3）存在，或或或．.

【解析】

（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；

（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；

（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算．

解：（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=，

由勾股定理得：BD===．

∵=BDAE=ABAD，

∴AE==4．

在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，

由勾股定理得：BE=3；

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：

由对称点性质可知，∠1=∠2．

由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．

①当点F′落在AB上时，

∵AB∥A′B′，

∴∠3=∠4，

∴∠3=∠2，

∴BB′=B′F′=3，即m=3；

②当点F′落在AD上时，

∵AB∥A′B′，

∴∠6=∠2，

∵∠1=∠2，∠5=∠1，

∴∠5=∠6，

又易知A′B′⊥AD，

∴△B′F′D为等腰三角形，

∴B′D=B′F′=3，

∴BB′=BD﹣B′D=﹣3=，即m=；

（3）存在．理由如下：

在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：

①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，

∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，

∴∠3=∠Q，

∴A′Q=A′B=5，

∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ==．

∴DQ=BQ﹣BD=；

②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠P，

∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．

∵∠3=∠2，

∴∠3=∠1，

∴BQ=A′Q，

∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ．

在Rt△BQF′中，由勾股定理得：，

即，

解得：BQ=，

∴DQ=BD﹣BQ==；

③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4．

∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，

∴∠4=90°﹣∠2．

∵∠1=∠2，

∴∠4=90°﹣∠1．

∴∠A′QB=∠4=90°﹣∠1，

∴∠A′BQ=180°﹣∠A′QB﹣∠1=90°﹣∠1，

∴∠A′QB=∠A′BQ，

∴A′Q=A′B=5，

∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1．

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ==，

∴DQ=BD﹣BQ=；

④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3．

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，

∴∠1=∠4，

∴BQ=BA′=5，

∴DQ=BD﹣BQ=﹣5=．

综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；

DQ的长度分别为或或或．

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