Question

【题目】如图，在△ABC中，∠B=45°，AD⊥BC于点D，以D为圆心DC为半径作⊙D交AD于点G，过点G作⊙D的切线交AB于点F，且F恰好为AB中点．
（1）求tan∠ACD的值．
（2）连结CG并延长交AB于点H，若AH=2，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵FG与⊙D相切，

∴∠DGF=90°，

∵AD⊥BC

∴FG∥CB，

∵F为AB中点，

∴ = = ，

∴AD=2GD=2CD，

∴tan∠ACD= =2．

（2）解：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵∠B=45°，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴∠DAB=45°

∵GD=CD，∠GDC=90°，

∴△CGD是等腰直角三角形，

∴∠GCD=45°

∴∠AHC=90°，

∴△AGH是等腰直角三角形，

∵AH=2，

∴HG=2，AG=2 ．

∴GD=2 ，

∴CG=4，

∴HC=6，

∴AC= =2 ．

【解析】（1）只要证明AD=2CD即可解决问题；（2）只要证明：△ADB，△CGD，△AGH都是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质即可解决问题；
【考点精析】认真审题，首先需要了解直角三角形斜边上的中线(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，还要掌握切线的性质定理(切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径)的相关知识才是答题的关键．