Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合．
（1）求证：DM=DN；
（2）当AB和AD满足什么数量关系时，△DMN是等边三角形？并说明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意知∠1=∠2，

又AB∥CD，得∠1=∠3，

则∠2=∠3．

故DM=DN

（2）解：当AB= AD时，△DMN是等边三角形．

证明：连接BD．

∵∠A=90°，AB= AD，

∴tan∠ABD= = ，

∴∠ABD=30°．

∵BM=MD，

∴∠ABD=∠MDB=30°，

∴∠BMD=120°．

∴∠1=∠2=60°．

又DM=DN，

∴△DMN是等边三角形．

【解析】（1）根据矩形对边平行得∠1=∠3，根据折叠的性质得∠1=∠2，所以∠2=∠3，得DM=DN；（2）假设△DMN是等边三角形，则∠ADM=30°．有MD=2AM，AD= AM，AB=3AM，得AB= AD．
【考点精析】关于本题考查的等边三角形的判定和翻折变换（折叠问题），需要了解三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能得出正确答案．