Question

【题目】（2016·长沙中考）若抛物线L：y＝ax2＋x＋c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线l叫作抛物线L的“带线”，抛物线L叫作直线l的“路线”.

（1）若直线y＝mx＋1与抛物线y＝x2－2x＋n具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y＝的图象上，它的“带线”l的解析式为y＝2x－4，求此“路线”L的解析式.

Answer 1

【答案】（1）m＝－1，n＝1；（2）y＝2(x＋1)2－6或y＝－ (x－3)2＋2.

【解析】试题分析: (1)令直线y＝mx＋1中x＝0,则y＝1,所以该直线与y轴的交点为(0,1),将(0,1)代入抛物线y＝x2－2x＋n中,得n＝1,可求出抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2,所以抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1,0)代入到直线y＝mx＋1中,得0＝m＋1,解得m＝－1,

(2)将y＝2x－4和y＝联立方程可得2x－4＝,即2x2－4x－6＝0,解得x1＝－1,x2＝3,所以该“路线”L的顶点坐标为(－1,－6)或(3,2),令“带线”l：y＝2x－4中x＝0,则y＝－4,所以 “路线”L的图象过点(0,－4),设该“路线”L的解析式为y＝m(x＋1)2－6或y＝n(x－3)2＋2,由题意得:－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2,解得m＝2,n＝,所以此“路线”L的解析式为y＝2(x＋1)2－6或y＝ (x－3)2＋2.

试题解析:(1)令直线y＝mx＋1中x＝0,则y＝1,即该直线与y轴的交点为(0,1),将(0,1)代入抛物线y＝x2－2x＋n中,得n＝1,

∴抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2,

∴抛物线的顶点坐标为(1，0)．将点(1,0)代入到直线y＝mx＋1中,得0＝m＋1,解得m＝－1,

(2)将y＝2x－4代入到y＝中,得2x－4＝,即2x2－4x－6＝0,解得x1＝－1,x2＝3,

∴该“路线”L的顶点坐标为(－1,－6)或(3,2),

令“带线”l：y＝2x－4中x＝0,则y＝－4,

∴“路线”L的图象过点(0,－4),

设该“路线”L的解析式为y＝m(x＋1)2－6或y＝n(x－3)2＋2,由题意得:

－4＝m(0＋1)2－6或－4＝n(0－3)2＋2,解得m＝2,n＝,

∴此“路线”L的解析式为y＝2(x＋1)2－6或y＝ (x－3)2＋2.