Question

【题目】两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1，固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

（1）操作发现
如图①，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断变化，但它的面积不变化，请求出其面积．
（2）猜想论证
如图②，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．
（3）拓展研究
如图③，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB的边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，则sinα= ．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，∵△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），

∴CF=AD，AC=DF，

∴四边形ACFD为平行四边形，

∴AD∥CF，

∴S△DCF=S△BCF=S△ACD，

∴S四边形CDBF=S△CDB+S△BCF=S△CDB+S△ACD=S△ACB，

在Rt△ACB中，∵∠A=60°，

∴BC= AC= ，

∴S△ABC= ×1× = ，

∴S四边形CDBF=

（2）解：四边形CDBF为菱形．理由如下：

如图2，∵点D为斜边AB的中点，

∴DC=DA=DB，

∵CF∥AD，CF=AD，

∴CF=BD，CF∥DB，

∴四边形CDBF为平行四边形，

而DC=DB，

∴四边形CDBF为菱形；

（3）
【解析】解：（3）作DH⊥AE于H，如图，

在Rt△ACB中，∵∠A=60°，

∴AB=2AC=2，

∵点D为AB的中点，

∴AD=BD= AB=1，

∵绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，

∴∠EFD=90°，EB= ，DE=AB=2，

在Rt△ABE中，AE= = = ，

∵ DHAB= ADEB，

∴DH= = ，

在Rt△EDH中，sinα= = ．

所以答案是 ．

【考点精析】掌握平移的性质和锐角三角函数的定义是解答本题的根本，需要知道①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图的形状与大小都没有发生变化；②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等；锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．