Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，求抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为该抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．（提示：若平面直角坐标系内两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ=）．

Answer 1

【答案】（1）直线的解析式是y=x+3；抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3；（2）M的坐标是（﹣1，2）；（3）P的坐标是（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．

【解析】

试题分析：（1）根据A和B关于x=﹣1对称即可求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）求得BC与对称轴的交点就是M；

（3）设P的坐标是（﹣1，p），利用两点之间的距离公式表示出BC、BP和PC的长，然后分成△BPC的三边分别是斜边三种情况讨论，利用勾股定理列方程求得p的值，得到P的坐标．

解：（1）A（1，0）关于x=﹣1的对称点是（﹣3，0），则B的坐标是（﹣3，0）．

根据题意得：，

解得：，

则抛物线的解析式是y=x+3；

根据题意得：，

解得：．

则抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3；

（2）在y=x+3中令x=﹣1，则y=﹣1+3=2，

则M的坐标是（﹣1，2）；

（3）设P的坐标是（﹣1，p）．

则BP2=（﹣1+3）2+p2=4+p2．

PC=（0+1）2+（3﹣p）2=p2﹣6p+10．

BC=32+32=18．

当BC时斜边时，BP2+PC2=BC2，则（4+p2）+（p2﹣6p+10）=18，

解得：p=﹣1或2，

则P的坐标是（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）；

当BP是斜边时，BP2=PC2+BC2，则4+p2=（p2﹣6p+10）+18，

解得：p=4，

则P的坐标是（﹣1，4）；

当PC是斜边时，PC2=BP2+BC2，则p2﹣6p+10=4+p2+18，

解得：p=﹣2，

则P的坐标是（﹣1，﹣2）．

总之，P的坐标是（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．