Question

【题目】以菱形的对角线交点为坐标原点，所在的直线为轴，已知，，，为折线上一动点，内行轴于点，设点的纵坐标为

（1）求边所在直线的解析式；

（2）设，求关于的函数关系式；

（3）当为直角三角形，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）直线BC的解析式为y=x﹣2；

（2）当点P在边BC上时， y=10a2+24a+48；

当点P在边CD上时，y= 10a2﹣40a+48；

（3）点P的坐标为（，2﹣），（4，0）．

【解析】

试题分析：（1）先确定出OA=4，OB=2，再利用菱形的性质得出OC=4，OD=2，最后用待定系数法即可确定出直线BC解析式；

（2）分两种情况，先表示出点P的坐标，利用两点间的距离公式即可得出函数关系式；

（3）分两种情况，利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出点P的坐标．

试题解析：（1）∵A（﹣4，0），B（0，﹣2），∴OA=4，OB=2，

∵四边形ABCD是菱形，∴OC=OA=4，OD=OB=2，∴C（4，0），D（0，2），

设直线BC的解析式为y=kx﹣2，∴4k﹣2=0，∴k= ，∴直线BC的解析式为y=x﹣2；

（2）由（1）知，C（4，0），D（0，2），∴直线CD的解析式为y=﹣x+2，

由（1）知，直线BC的解析式为y=x﹣2，

当点P在边BC上时，设P（2a+4，a）（﹣2≤a＜0），

∵M（0，4），

∴y=MP2+OP2=（2a+4）2+（a﹣4）2+（2a+4）2+a2=2（2a+4）2+（a﹣4）2+a2=10a2+24a+48

当点P在边CD上时，

∵点P的纵坐标为a，

∴P（4﹣2a，a）（0≤a≤2），

∵M（0，4），∴y=MP2+OP2=（4﹣2a）2+（a﹣4）2+（4﹣2a）2+a2=10a2﹣40a+48，

（3）①当点P在边BC上时，即：0≤a≤2，

由（2）知，P（2a+4，a），

∵M（0，4），∴OP2=（2a+4）2+a2=5a2+16a+16，PM2=（2a+4）2+（a﹣4）2=5a2﹣8a+32，OM2=16，

∵△POM是直角三角形，易知，PM最大，

∴OP2+OM2=PM2，

∴5a2+16a+16+16=5a2﹣8a+32，

∴a=0（舍）

②当点P在边CD上时，即：0≤a≤2时，

由（2）知，P（4﹣2a，a），

∵M（0，4），

∴OP2=（4﹣2a）2+a2=5a2﹣16a+16，PM2=（4﹣2a）2+（a﹣4）2=5a2﹣24a+32，OM2=16，

∵△POM是直角三角形，

Ⅰ、当∠POM=90°时，

∴OP2+OM2=PM2，

∴5a2﹣16a+16+16=5a2﹣24a+32，

∴a=0，

∴P（4，0），

Ⅱ、当∠MPO=90°时，OP2+PM2=5a2﹣16a+16+5a2﹣24a+32=10a2﹣40a+48=OM2=16，

∴a=2+ （舍）或a=2﹣，

∴P（，2﹣），

即：当△OPM为直角三角形时，点P的坐标为（，2﹣），（4，0）．