【题目】如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）连接，若，．

①求的值；

②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．

参考答案：

【答案】（1）详见解析；（2）① ②和 走完全程所需时间为

【解析】

试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.

试题解析：解：（1）证明： 四边形 是矩形.

与 交于点O,且 关于 对称

四边形 是菱形.

（2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点

关于 的对称图形为

在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点

为 的中位线

同理可得： 为 的中点，

②过点P作 交 于点

由 运动到 所需的时间为3s

由①可得，

点O以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A

即：

由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.

如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.

在 中，设

解得：

和 走完全程所需时间为

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