Question

【题目】在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°．以AB为斜边作等腰直角三角形ADB．点P是直线DB上一个动点，连接AP，作PE⊥AP交BC所在的直线于点E．

（1）如图1，点P在BD的延长线上，PE⊥EC，AD=1，直接写出PE的长；
（2）点P在线段BD上（不与B，D重合），依题意，将图2补全，求证：PA=PE；
（3）点P在DB的延长线上，依题意，将图3补全，并判断PA=PE是否仍然成立．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AD=DB=1，∠ADB=90°，

∴∠ABP=45°，AB= = ，

∵PE⊥AP，AB⊥BC，

∴PA∥EC，

∴PA⊥AB，

∴四边形ABEP是矩形，

∵∠ABP=45°，

∴PA=AB，

∴四边形ABEP是正方形，

∴PE=AB=

（2）

解：∵△ABC和△ADB是等腰直角三角形，

∴∠ADB=90°，∠DAB=∠DBA=45°，

∴∠PBN=45°

∴PE⊥AP，∠DAP=∠BPE=90°﹣∠DPA，

∵∠PAM=45°﹣∠DAP，∠PEN=45°﹣∠BPE，

∴∠PAM=∠PEN，

过P作PM⊥AB于点M，过P作PN⊥BC于点N，

则PM=PN，∠BPN=45°，

在△APM和△EPN中， ，

∴△APM≌△EPN，

∴PA=PE；

（3）

解：∵△ABC和△ADB是等腰直角三角形，

∴∠ABD=45°，

∴∠PBN=45°，∠ABC=90°，

过P作PM⊥AB于点M，过P作PN⊥BC于点N，

则四边形BMPN是矩形，

∵∠NBP=45°，

∴四边形BMPN是正方形，

∴PM=PN，

∵AB⊥BC，

∴∠BAN=∠APN，

∵AP⊥PE，

∴∠APN=∠E，

∴∠BAP=∠E，

在△AMP与△ENP中， ，

∴△AMP≌△ENP，

∴AP=PE．

【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABP=45°，根据勾股定理得到AB= = ，推出四边形ABEP是矩形，得到四边形ABEP是正方形，于是得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ADB=90°，∠DAB=∠DBA=45°，求得∠PBN=45°过P作PM⊥AB于点M，过P作PN⊥BC于点N，于是得到PM=PN，∠BPN=45°根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABD=45°，得到∠PBN=45°，∠ABC=90°，过P作PM⊥AB于点M，过P作PN⊥BC于点N，得到四边形BMPN是矩形，推出四边形BMPN是正方形，得到PM=PN，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【考点精析】掌握等腰直角三角形和正方形的判定方法是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角．