Question

【题目】已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1， ），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）． （注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）
附：阅读材料
任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1 ， x2 ，
则：x1+x2=﹣ ，x1x2=
能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．
例：不解方程，求方程x2﹣3x=15两根的和与积．
解：原方程变为：x2﹣3x﹣15=0
∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=﹣ ，x1x2=
∴原方程两根之和=﹣ =3，两根之积= =﹣15．

（1）求该二次函数的解析式．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）
（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），

因此二次函数的解析式可设为y=ax2+1．

∵抛物线y=ax2+1过点（﹣1， ），

∴ =a+1．

解得：a= ．

∴二次函数的解析式为：y= x2+1

（2）解：当x=﹣1时，y= ，

当x=0时，y=1，

当x=3时，y= ×32+1= ，

结合图1可得：当﹣1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜

（3）①证明：过点A作y轴的对称点A′，连接BA′并延长，交y轴于点G，连接AG，如图2，

则点A′必在抛物线上，且∠AGP=∠BGP，

∴△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．

∵点A的坐标为（x1，y1），

∴点A′的坐标为（﹣x1，y1）．

∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上，

∴y1=kx1+2，y2=kx2+2．

∴点A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、点B的坐标为（x2，kx2+2）．

设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．

∵点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，

∴ ．

解得： ．

∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y=kx+2与抛物线y= x2+1的交点，

∴x1、x2是方程kx+2= x2+1即x2﹣4kx﹣4=0的两个实数根．

∴由根与系数的关系可得；x1+x2=4k，x1x2=﹣4．

∴n= =﹣2+2=0．

∴点G的坐标为（0，0）．

∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．

②解：过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2，

∵直线y=kx+2与y轴相交于点P，

∴点P的坐标为（0，2）．

∴PG=2．

∴S△ABG=S△APG+S△BPG

= PGAC+ PGBD

= PG（AC+BD）

= ×2×（﹣x12）

=x2﹣x1

=

=

=

=4 ．

∴当k=0时，S△ABG最小，最小值为4．

∴△GAB面积的最小值为4．

【解析】（1）设二次函数解析式为y=ax2+1，由于点（﹣1， ）在二次函数图象上，把该点的坐标代入y=ax2+1，即可求出a，从而求出二次函数的解析式．（2）先分别求出x=﹣1，x=0，x=3时y的值，然后结合图象就可得到y的取值范围．（3）过点A作y轴的对称点A′，连接BA′并延长，交y轴于点G，连接AG，如图2，则点A′必在抛物线上，且∠AGP=∠BGP，由此可得△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由于点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）在直线y=kx+2上，从而可以得到点A的坐标为（x1 ， kx1+2）、A′的坐标为（﹣x1 ， kx1+2）、B的坐标为（x2 ， kx2+2）．设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．由于点A′（﹣x1 ， kx1+2）、B（x2 ， kx2+2）在直线BG上，可用含有k、x1、x2的代数式表示n．由于A、B是直线y=kx+2与抛物线y= x2+1的交点，由根与系数的关系可得：x1+x2=4k，x1x2=﹣4．从而求出n=0，即可证出：在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由S△ABG=S△APG+S△BPG ， 可以得到S△ABG=x2﹣x1= =4 ，所以当k=0时，S△ABG最小，最小值为4．
【考点精析】认真审题，首先需要了解根与系数的关系(一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商)，还要掌握确定一次函数的表达式(确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法)的相关知识才是答题的关键．