【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，且∠BAO=30°，现将△OAB沿直线AB翻折，得到△CAB. 连接OC交AB于点D.

（1）求证：AD⊥OC，OD＝OA ；

（2）若Rt△AOB的斜边AB＝，则OB＝_____；OA＝_____；点C的坐标为_______；

（3）在（2）的条件下，动点F从点O出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线O﹣A﹣C向终点C运动，设△FOB的面积为S（S＞0），点F的运动时间为t秒，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；

（4）在（3）的条件下，过点B作BE⊥x轴，交AC于点E，在动点F的运动过程中，当t为何值时，△BEF是以BE为腰的等腰三角形？

参考答案：

【答案】 (1)见解析； （2）,6, （，3） (3) ;(4) 当t＝1或3时，△BEF是以BE为腰的等腰三角形.

【解析】试题分析：（1）根据折叠的性质和等边三角形的判定得到△OAC是等边三角形；结合等边三角形的“三线合一”的性质证得结论；
（2）如图1，过C点作CH⊥x轴于H点，在直角△OCH中，利用三角函数求得CH和OH，则C的坐标即可求得；
（3）分成当0＜t≤3和3＜t≤6两种情况，利用三角形的面积公式即可求解；
（4）分成B是顶角顶点和E是顶角顶点两种情况进行讨论．

试题解析：

（1）由折叠得性质得： CA＝OA， CB＝OB，∠BAC＝∠BAO＝30°，∠ACB＝∠AOB＝90°，

∴ ∠ABC＝∠ABO=60°，

∴ △OAC是等边三角形

∴OC＝OA ，

∵ ∠DAC=∠DAO ，

∴ AD⊥OC且OD＝OC ；

∴ AD⊥OC且OD＝OA ；

（2） OB＝； OA＝6； C（，3）；

（3）分两种情况讨论：

①当0＜t≤3时，如图1， OF＝2t， ；

②当3＜t≤6时，如图2， AF＝2t﹣6， 过点F作FG⊥OA于G，

则 ， OG＝OA－ AG＝6﹣（t﹣3）＝9﹣t，

；

综上所述：

（4）分两种情况讨论：

① 当腰BE＝BF时， 如图3，

∵BE∥OA ，

∴∠ABE＝∠OAB＝30° ，

∴∠EBA＝∠EAB＝30° ，

∴BE＝AE 且∠EBC＝60°－30°＝30° ，

∵在Rt△BOF和Rt△BCE中，BF＝BE ，BO＝BC ，

∴△BOF≌△BCE，（HL）

∴OF＝CE 且 ∠FBO＝∠EBC＝30° ，

∴∠EBF＝120°－30°－30°60° ，

∴ 此时△BEF为等边三角形．BF=AF，

在Rt△FBO 中，∵ ∠FBO＝30°

∴ FO＝BF＝AF，

∴AF＝2 FO．

∴AO＝3FO．

∴3FO＝6，

∴ FO＝2 ，

∴ 2t＝2，

∴此时t＝1，

②当腰BE＝FE时，由上可知，点F使得△BEF为等边三角形 或 点F运动与A点重合，

则 2t＝2，或者 2t＝6，

∴ 此时 t＝1，或 t＝3，；

综上所述，当t＝1或3时，△BEF是以BE为腰的等腰三角形．

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