Question

【题目】观察下列等式：

第1个等式： ；

第2个等式： ；

第3个等式： ；

第4个等式： ）；

…

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a5=　 　=　 　；

（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an=　 　=　 　（n为正整数）；

（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．

Answer 1

【答案】（1） ； ；（2） ； ；（3）

【解析】（1）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1；（2）运用（1）中变化规律计算得出即可；（3）运用以上规律裂项求和即可．

解：（1）观察下列等式：

第1个等式：a1==（1﹣）

第2个等式：a2==（﹣）

第3个等式：a3==（﹣）

第4个等式：a4==（﹣）

…

则第5个等式：a5==×（﹣）；

故答案为，×（﹣）；

（2）由（1）知，an==（﹣），

故答案为：，（﹣）；

（3）原式=+++…+

=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）

=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）

=×

=．

“点睛”此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题．