Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，F在CD上，且AF垂直平分CD，FG平分∠AFD，交AD于G，连接GB，交AF于N，且FN=FD．

（1）求证：△GFN≌△GFD；
（2）如图，连接ND，若BC=ND，∠ADC=75°，求证：AN=AB；

（3）如图2，延长AF、BC交于点E，过B作BK⊥AE于K，若∠BAF=2∠E，猜想，AB与KF之间有何数量关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵FG平分∠AFD，

∴∠NFG=∠GFD，

在△GFN和△GFD中， ，

∴△GFN≌△GFD（SAS）

（2）

证明：连接AC，如图1所示：

∵AF⊥CD，FN=FD，

∴△DFN为等腰直角三角形，

∴∠FDN=45°，

∵∠ADC=75°，

∴∠ADN=∠ADC﹣∠FDN=75°﹣45°=30°，

在Rt△AFD中，∠FAD=90°﹣75°=15°

∵AF垂直平分CD，

∴AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC=75°，

∴∠CAD=30°，

∵AD∥BC，

∴∠BCA=∠CAD=30°，

∴∠ADN=∠BCA，

在△ADN和△ACB中， ，

∴△ADN≌△ACB（SAS），

∴AN=AB

（3）

解：AB与KF之间有何数量关系为：AB=2KF；理由如下：

取AB中点H，连接HF、HK，如图2所示：

∵在Rt△AKB中，H为AB中点，

∴HK= AB=AH，

∴∠HAK=∠HKA，

∵∠BAF=2∠E，

∴∠HKA=2∠E，

∵AD∥BE，

∴△AFD∽△EFC，

∴ = =1，

∴AF=EF，

∵H为AB中点，

∴HF为△ABE的中位线，

∴HF∥BE，

∴∠HFK=∠E，

∴∠HKA=2∠HFK，

∵∠HKA=∠HFK+∠FHK，

∴2∠HFK=∠HFK+∠FHK，

∴∠HFK=∠FHK，

∴HK=KF，

∵HK= AB，

即AB=2HK，

∴AB=2KF．

【解析】（1）由角平分线得出∠NFG=∠GFD，由SAS证明△GFN≌△GFD即可；（2）连接AC，由等腰直角三角形的性质得出∠FDN=45°，由线段垂直平分线的性质得出AC=AD，证出∠CAD=30°，由SAS证明△ADN≌△ACB，得出对应边相等即可；（3）取AB中点H，连接HF、HK，由直角三角形斜边上的中线性质得出HK= AB=AH，得出∠HAK=∠HKA，证明△AFD∽△EFC，得出对应边成比例，证出AF=EF，证明HF为△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出HF∥BE，得出∠HFK=∠E，由角的关系得出∠HFK=∠FHK，得出HK=KF，即可得出结论．