Question

【题目】如图，已知点 ，经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示点P的坐标；
（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作PF⊥y轴于F．

∵点 ，

∴∠BAO=30°．

在直角三角形PFB′中，PB′=t，∠B′PF=30°，

则B′F= ，PF= ．

又BB′=t，

∴OF=OB﹣BB′﹣B′F=6﹣t﹣ =6﹣ t，

则P点的坐标为（ ，6﹣ t）．

（2）

解：此题应分为两种情况：

①当⊙P和OC第一次相切时，

设直线B′P与OC的交点是M，

根据题意，知∠BOC=∠BAO=30°．

则B′M= OB′=3﹣ ，

则PM=3﹣ t．

根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得

3﹣ t =1，t= ．

此时⊙P与直线CD显然相离；

②当⊙P和OC第二次相切时，

则有 t﹣3=1，t= ．

此时⊙P与直线CD显然相交；

答：当t= 或 时⊙P和OC相切，t= 时⊙P和直线CD相离，当t= 时⊙P和直线CD相交．

【解析】（1）过点P向y轴引垂线．根据已知点A、B的坐标可以求得∠BAO=30°，从而可以结合题意，利用解直角三角形的知识进行求解；（2）此题应分作两种情况考虑：①当P位于OC左侧，⊙P与OC第一次相切时，易证得∠COB=∠BAO=30°，设直线l与OC的交点为M，根据∠BOC的度数，即可求得B′M、PM的表达式，而此时⊙P与OC相切，可得PM=1，由此可列出关于t的方程，求得t的值，进而可判断出⊙P与CD的位置关系；②当P位于OC右侧，⊙P与OC第二次相切时，方法与①相同．