Question

【题目】如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．

（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________；

（2）若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE；

（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．

Answer 1

【答案】（1）∠AHE=∠KEH+∠FAH；（2）75°；（3）t=6、12、21、24、30．

【解析】

（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案；
（2）设∠BEF=x，用x分别表示出∠BAK、∠BEC、∠BAK、∠KAG、∠AME和∠AHE，再由AG⊥BE，得关于x的方程，解得x的值，则问题可解；
（3）由（2）可得，∠KHE=105°，再分4种情况列方程求解即可：①当KH∥EN时；②当kE∥GN时；③当HE∥GN时；④当HK∥GN时．

解：（1）∵AB∥CD
∴∠KEH=∠AFH
∵∠AHE=∠AFH+∠FAH
∴∠AHE=∠KEH+∠FAH
故答案为： ∠AHE=∠KEH+∠FAH
（2）设∠BEF=x
∵∠BEF= ∠BAK，∠BEC=2∠BEF
∴∠BAK=∠BEC=2x
∵AK平分∠BAG
∴∠BAK=∠KAG=2x
由（1）的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x
∵AG⊥BE
∴∠G=90°
∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°
∴x=15°
∴∠AHE=5x=75°；
（3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60°
①当KH∥NG时
5°×t=60°-30°=30°
∴t=6
②当KE∥GN时
5°×t=60°
∴t=12
③当HE∥GN时
5°×t=45°+60°=105°
∴t=21
④当HK∥EG时，
5°×t=180°-30°-30°=120°
∴t=24
⑤当HK∥EN时，5t=150°
∴t=30
综上所述，t的值为：6或12或21或24或30．