Question

【题目】Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图①，且∠α=50°，则∠1+∠2=；
（2）若点P在斜边AB上运动，如图②，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；
（3）如图③，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系：；
（4）若点P运动到△ABC形外（只需研究图④情形），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）140°
（2）解：∠1+∠2=90°+∠α
（3）解：∠2﹣∠1=90°+∠α；∠2=∠1+90°；∠1﹣∠2=∠α﹣90°
（4）解：

∵∠PFD=∠EFC，

∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，

∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，

∴∠2=90°+∠1﹣α．

故答案为：∠2=90°+∠1﹣α

【解析】解：（1）如图，连接PC， ∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，
∴∠1+∠2=50°+90°=140°，
所以答案是：140°；

·（2）连接PC，
∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠C=90°，∠DPE=∠α，
∴∠1+∠2=90°+∠α；
所以答案是：∠1+∠2=90°+∠α；

·（3）如图1，
∵∠2=∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1=90°+∠α；
如图2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；
如图3，∵∠2=∠1﹣∠α+∠C，
∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°．

所以答案是；∠2﹣∠1=90°+∠α；∠2=∠1+90°；∠1﹣∠2=∠α﹣90°．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的内角和外角的相关知识，掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，以及对三角形的外角的理解，了解三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．