Question

【题目】如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）如图1，连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系并证明；
（3）如图2，若AB= ，G为CB中点，连接CF，直接写出四边形CDEF的面积为 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F，

∴BF⊥AG于点F，

∴∠AED=∠BFA=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAF+∠EAD=90°，

∵∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ADE，

在△AFB和△DEA中，

，

∴△AFB≌△DEA（AAS），

∴BF=AE

（2）证明：DF=CE且DF⊥CE．

理由如下：∵∠FAD+∠ADE=90°，∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，

∴∠FAD=∠EDC，

∵△AFB≌△DEA，

∴AF=DE，

又∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，

在△FAD和△EDC中，

，

∴△FAD≌△EDC（SAS），

∴DF=CE且∠ADF=∠DCE，

∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，

∴∠DCE+∠CDF=90°，

∴DF⊥CE

（3）3
【解析】（3）∵AB= ，G为CB中点， ∴BG= BC= ，
由勾股定理得，AG= = = ，
∵S△ABG= AGBF= ABBG，
∴ × BF= × × ，
解得BF= ，
由勾股定理得，AF= = = ，
∵△AFB≌△DEA，
∴AE=BF= ，
∴AE=EF= ，
∴DE垂直平分AF，
∴DF=AD= ，
由（2）知，DF=CE且DF⊥CE，
∴四边形CDEF的面积= DFCE= × × =3．
所以答案是：3．
【考点精析】本题主要考查了正方形的性质的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．