Question

【题目】（问题情境）

徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题：

如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD=AC

小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）…

小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE． 可以证得：AE=DE（如图3）…

请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明．

（变式探究）

“AD是∠BAC的平分线”改成“AD是BC边上的高”，其它条件不变．（如图4），AB+BD=AC成立吗？若成立，请证明；若不成立，写出你的正确结论，并说明理由．

（迁移拓展）

△ABC中，∠B=2∠C． 求证：AC2=AB2+ABBC． （如图5）

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题问题情境：小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，由角平分线的性质就可以得出∠DAB=∠DAE，再证明△ADB≌ADE就可以得出结论；小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．就可以得出∠E=∠C，就有AE=AC，进而得出AE=ED即可；

变式探究：CD上截取DE=DB，连结AE，由AD⊥BC就可以得出AE=AB，∠AED=∠B，由∠AED=∠C+∠CAE就有∠C=∠CAE得出AE=EC，进而得出结论；

迁移拓展：过点A作AD⊥BC于D．由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，AC2=CD2+AD2，AC2﹣AB2=CD2﹣BD2=BC（CD﹣BD），由（2）的结论就可以得出AC2﹣AB2=BC（CD﹣BD）=BCAB即可．

解：问题情境：小敏的证明思路是：如图2，在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠EAD．

在△ABD和△AED中，

，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴BD=DE，∠ABD=∠AED

∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，

∴∠EDC=∠C，

∴DE=EC，

即AB+BD=AC；

小捷的证明思路是：如图3，延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．

∴∠E=∠BAE．

∵∠ABC=∠E+∠BAE，

∴∠ABC=2∠E．

∵∠ABC=2∠C，

∴∠E=∠C，

∴△AEC是等腰三角形．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠DAC．

∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠DAE=∠BAD+∠BAE

∴∠ADE=∠DAE，

∴EA=ED=AC，

∴AB+BD=AC；

变式探究：

AB+BD=AC不成立 正确结论：AB+BD=CD…（5分）

理由：如图4，在CD上截取DE=DB，连结AE，

∵AD⊥BC，

∴AD是BE的中垂线，

∴AE=AB，

∴∠B=∠AED．

∵∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C，

∴∠C=∠CAE，

∴AE=EC．

即AB+BD=CD；

迁移拓展：

证明：如图5，过点A作AD⊥BC于D．由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，AC2=CD2+AD2，

∴AC2﹣AB2=CD2﹣BD2=（CD+BD）（CD﹣BD）=BC（CD﹣BD）

∵AB+BD=CD，

∴CD﹣BD=AB，

∴AC2﹣AB2=BC（CD﹣BD）=BCAB，

即AC2=AB2+ABBC．