Question

【题目】已知关于x的一元二次方程mx2－(3m+2) x＋2m＋2＝0(m>0).

(1)求证：方程有两个不相等的实数根且其中一个根为定值；

(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1<x2)，若y是关于m的函数，且y＝7x1－mx2，求这个函数的表达式；并求当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤3m.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）y＝－2m＋5;当m≥1时，y≤3m.

【解析】试题分析：（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2，由m＞0，得到△＞0，根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，再利用求根公式得到x=，可得到方程有一个根为1，于是得到方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值．
（2）解方程得到x1=1，x2=2+，所以y=7-m（2+）=-2m+5，然后解不等式-2m+5≤3m．

试题解析：（1）证明：△=（3m+2）2-4m（2m+2）
=m2+4m+4
=（m+2）2，
∵m＞0，
∴（m+2）2＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵x=，
∴方程有一个根为1，
∴方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值．
（2）∵x=，
∴x1=1，x2=2+，
∴y=7x1-mx2
=7-m（2+）
=-2m+5，
当y≤3m，即-2m+5≤3m，
∴m≥1．