Question

【题目】如图①，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上，修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道的宽为a米．

①②

(1)用含a的式子表示花圃的面积；

(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的，求此时甬道的宽；

(3)已知某园林公司修建甬道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(平方米)之间的函数关系如图②所示．如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的甬道宽不少于2米且不超过10米，那么甬道的宽为多少米时，修建的甬道和花圃的总造价最低？最低总造价为多少元？

Answer 1

【答案】（1）(4a2－200a＋2 400)平方米；（2）5米；（3）甬道的宽为2米时，修建的甬道和花圃的总造价最低，最低总造价为105 920元．

【解析】试题分析：（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；

（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；

（3）根据图象，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解，再根据修建的通道和花圃的总造价为105920元列出关于a的方程，通过解方程求得a的值．

试题解析：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400．

（2）当通道所占面积是整个长方形空地面积的，即花圃所占面积是整个长方形空地面积的，则4a2﹣200a+2400=60×40×，

解方程得：a1=5，a2=45（不符合题意，舍去）

即此时通道宽为5米；

（3）当a=10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）

即此时花圃面积最少为800（平方米）．

根据图象可设y1=mx，y2=kx+b，

将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有

1200m=48000，解得：m=40

∴y1=40x且有，

解得： ，

∴y2=35x+20000．

∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，

∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a

∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920

解得a1=2，a2=48（舍去）．

答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．