【题目】为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度。一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域。如图所示，AB＝60海里，在B处测得C在北偏东45的方向上，A处测得C在北偏西30的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120海里。

（1）分别求出A与C及B与C的距离AC，BC（结果保留根号）

（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）

参考答案：

【答案】（1）AC=120海里 ，BC=120海里；（2）无触礁危险．

【解析】试题分析：（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，在Rt△CBE与Rt△CAE中，分别表示出BE、AE的长度，然后根据AB=60（ +）海里，代入BE、AE的式子，求出x的值，继而可求出AC、BC的长度；

（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，根据AD的值，利用三角函数的知识求出DF的长度，然后与100比较，进行判断．

试题解析：（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，

可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，

设CE=x，

在Rt△CBE中，BE=CE=x，

在Rt△CAE中，AE=x，

∵AB=60（+）海里，

∴x+x=60（+），

解得：x=60，

则AC=x=120，

BC=x=120，

答：A与C的距离为120海里，B与C的距离为120里；

（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，

在△ADF中，

∵AD=120（-），∠CAD=60°，

∴DF=ADsin60°=180-60 ≈106.8＞100，

故海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险．

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