Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．

（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．
当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；
当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；
（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）10；10±2
（2）

解：由题意，可知矩形ABCD顶点D的坐标为（2，2）．

由一次函数的性质可知，当b由小到大变化时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）向右平移，依次扫过矩形ABCD的不同部分．

可得当直线经过A（2，0）时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C（6，2）时，b=14．

①当0≤b≤4时，S=0；

②当4＜b≤6时，如答图2所示．

设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与AD交于点Q．

令y=0，可得x= ，∴AP= ﹣2；

令x=2，可得y=b﹣4，∴AQ=b﹣4．

∴S=S△APQ= APAQ= （ ﹣2）（b﹣4）= b2﹣2b+4；

③当6＜b≤12时，如答图3所示．

设直线l：y=﹣2x+b与x轴交于点P，与CD交于点Q．

令y=0，可得x= ，∴AP= ﹣2；

令y=2，可得x= ﹣1，∴DQ= ﹣3．

S=S梯形APQD= （DQ+AP）AD=b﹣5；

④当12＜b≤14时，如答图4所示．

设直线l：y=﹣2x+b与BC交于点P，与CD交于点Q．

令x=6，可得y=b﹣12，∴BP=b﹣12，CP=14﹣b；

令y=2，可得x= ﹣1，∴DQ= ﹣3，CQ=7﹣ ．

S=S矩形ABCD﹣S△PQC=8﹣ CPCQ=- b2+7b﹣41；

⑤当b＞14时，S=S矩形ABCD=8．

综上所述，当b由小到大变化时，S与b的函数关系式为：

．

【解析】解：（1）①直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M（4，2）时，则有：2=﹣2×4+b，∴b=10；
②若直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切，如答图1所示，应有两条符合条件的切线．
设直线与x轴、y轴交于A、B点，则A（ ，0）、B（0，b），∴OB=2OA．
由题意，可知⊙M与x轴相切，设切点为D，连接MD；
设直线与⊙M的一个切点为P，连接MP并延长交x轴于点G；
过P点作PN⊥MD于点N，PH⊥x轴于点．
易证△PMN∽△BAO，
∴PN：MN=OB：OA=2：1，
∴PN=2MN．
在Rt△PMN中，由勾股定理得：PM2=PN2+MN2 ， 解得：MN= ，PN= ，
∴PH=ND=MD﹣MN=2﹣ ，OH=OD﹣HD=OD﹣PN=4﹣ ，
∴P（4﹣ ，2﹣ ），代入直线解析式求得：b=10﹣2 ；
同理，当切线位于另外一侧时，可求得：b=10+2 ．

【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的性质的相关知识，掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小，以及对直线与圆的三种位置关系的理解，了解直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．