Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEF=∠EFC，

由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，

∴∠EFC=∠CEF，

∴CF=CE，

∴AF=CF=CE=AE，

∴四边形AFCE为菱形

（2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．

理由：由折叠的性质，得：CE=AE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，

∵AE=a，ED=b，DC=c，

∴CE=AE=a，

在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，

∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2

【解析】（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形；（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2 ．