Question

【题目】如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；
（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？
（4）若点P为直线AE上一动点，当CP+DP取最小值时，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设函数解析式为：y=ax2+bx+c，

由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），

可得 ，

解得： ，

故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=﹣x2﹣3x+4

（2）

解：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

由题意得： ，

解得： ，

即直线BC的解析式为y=﹣2x+2．

故可得点E的坐标为（0，2），

从而可得：AE= =2 ，CE= =2 ，

故可得出AE=CE

（3）

解：方法一：相似．理由如下：

设直线AD的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得： ，

即直线AD的解析式为y=x+4．

联立直线AD与直线BC的函数解析式可得： ，

解得： ，

即点F的坐标为（﹣ ， ），

则BF= = ，

又∵AB=5，BC= =3 ，

∴ = ， = ，

∴ = ，

又∵∠ABF=∠CBA，

∴△ABF∽△CBA．

故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似

方法二：

若△ABF∽△ABC，则 ，即AB2=BF×BC，

∵A（﹣4，0），D（0，4），

∴lAD：y=x+4，lBC：y=﹣2x+2，

∴lAD与lBC的交点F（﹣ ， ），

∴AB=5，BF= ，BC=3 ，

∴AB2=25，BF×BC= ×3 =25，

∴AB2=BF×BC，

又∵∠ABC=∠ABC，

∴△ABF∽△ABC

（4）

解：由（3）知：KAE= ，KCE=﹣2，

∴KAE×KCE=﹣1，

∴AE⊥CE，

过C点作直线AE的对称点C‘，点E为CC′的中点，

∴ ， ，

∵C（﹣2，6），E（0，2），

∴C′X=2，C′Y=﹣2，

∵D（0，4），∴lC′D：y=﹣3x+4，

∵lAE：y= x+2，

∴lC′D与lAE的交点P（ ， ）

【解析】（1）利用待定系数发求解即可得出抛物线的解析式；（2）求出直线BC的函数解析式，从而得出点E的坐标，然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论；（3）求出AD的函数解析式，然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标，由题意得∠ABF=∠CBA，然后判断出 是否等于 即可作出判断．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．