Question

【题目】已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

(1)如图1，连接AF、CE求证：四边形AFCE为菱形；

(2)如图1，求AF的长；

(3)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AF=5cm；（3）

【解析】

（1）根据矩形的性质、平行线的性质和已知条件利用ASA证明△AOE≌△COF，可得OE=OF，进而可得四边形AFCE是平行四边形，然后由EF⊥AC即可证得结论；

（2）设AF=xcm，则易得CF=xcm，BF=(8－x)cm，然后在Rt△ABF中，由勾股定理建立关于x的方程，解方程即得结果；

（3）分为三种情况：第一、P在AF上，由P、Q两点的速度即可进行判断；第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，其中只有当Q在DE上时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，用含t的代数式分别表示出AQ和CP，从而可得关于t的方程，解方程即得结果；第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，由P、Q两点的位置即可进行判断．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF是AC的垂直平分线，

∴OA=OC，

∵∠AOE=∠COF，

∴ΔAOE≌ΔCOF（ASA），

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴平行四边形AFCE是菱形；

（2）∵四边形AFCE是菱形，

∴AF=FC，

设AF=xcm，则CF=xcm，BF=(8－x)cm，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，

则在RtΔABF中，由勾股定理得：，

解得：x=5，即AF=5cm；

(3)分为三种情况：

第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，

∴Q只能在CD上，此时以A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；

第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，其中只有当Q在DE上时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，

∵AQ=8－(0.8t－4)，CP=5+(t－5)，

∴8－(0.8t－4)=5+(t－5)，

解得：；

第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时以A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；

综上所述，当时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．