Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D.

(1)、求证： AC平分∠DAB；(2)、若点E为的中点，AD=，AC=8，求AB和AE的长.

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、AB=10；AE=5.

【解析】

试题分析：(1)、连接OC，根据切线的性质和垂直得出AD∥OC，则∠DAC=∠ACO，根据OA=OC得出∠CAO=∠ACO，从而说明∠DAC=∠CAO，得出角平分线；(2)、连接BC，证明△ADC和△ACB相似，从而求出AB的长度，根据E为中点得出△AOE为等腰直角三角形，从而得出AE的长度.

试题解析：(1)、连接OC ∵CD与圆相切与点C ∴∠DCO=90° ∵AD⊥CD ∴AD∥OC

∴∠DAC=∠ACO ∵OA=OC ∴∠CAO=∠ACO ∴∠DAC=∠CAO ∴AC平分∠DAB

(2)、连接BC， ∵AB为直径 ∴∠ACB=∠ADC=90° 由(1)得∠DAC=∠CAO

∴△ADC∽△ACB． ∴ ∵，AC=8， ∴AB=10.

∵点为的中点，∴∠AOE=90°．∴△AOE为等腰直角三角形 ∴AO=OE=5 AE=5