Question

【题目】操作：将一把三角尺放在如图①的正方形中，使它的直角顶点在对角线上滑动，直角的一边始终经过点，另一边与射线相交于点，探究：

(1)如图②，当点在上时，求证：.

(2)如图③，当点在延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)成立，理由见解析.

【解析】

（1）过点P作MN//BC，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP；

（2）过点作于,交于点，可以证明△PMQ≌△BNP，从而得出BP=QP；

(1)证明：过点作，分别交于点，交于点，

则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．

∴NP=NC=MB

∵∠BPQ=90°

∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ，

∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，

在△QNP和△BMP中，

∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM

∴△QNP≌△PMB（ASA），

∴PQ=BP．

(2)成立.

过点作于,交于点

在正方形中,

∴

∴是矩形，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴；