Question

【题目】在△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BD交CA延长线于点E．

（1）求证：ED2=EAEC；

（2）若ED=6，BD=CD=3，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）根据EF是BD的垂直平分线，可得EB=ED，再证明△EAB∽△EBC，列比例式为，将EB与ED替换可得结论；

（2）根据△EAB∽△EBC，得，代入可得EA=4，作高线AG、DH，根据勾股定理求EF=，利用面积法可得DH的长，再用平行相似得：△AGE∽△DHE，列比例式得AG的长，从而得EG的长，根据勾股定理得BC的长．

详解：（1）证明：∵EF是BD的垂直平分线，

∴EB=ED，

∴∠EDB=∠EBD，

∵∠EDB=∠C+∠DBC，∠EBD=∠ABE+∠ABD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠C=∠ABE，

∵∠BEC=∠BEA，

∴△EAB∽△EBC，

∴，

∴EB2=EAEC，

∵EB=ED，

∴ED2=EAEC；

（2）∵ED=EB=6，BD=CD=3，

∴EC=6+3=9，

由（1）知：△EAB∽△EBC，

∴，

∴，EA=4，

过A作AG⊥EB于G，过D作DH⊥EB于H，

Rt△EFD中，ED=6，DF=，

∴EF=，

∴S△EBD=EBDH=BDEF，

∴DH=EF=，

∵AG∥DH，

∴△AGE∽△DHE，

∴，

∴，，

由勾股定理得：EG=，

∴BG=6﹣=，

由勾股定理得：AB= ，

∵△EAB∽△EBC，

∴，

∴，

∴BC=．