Question

【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=4，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于_____．

Answer 1

【答案】2，4﹣3，

【解析】分析：首先理解题意，得出此题应该分三种情况进行分析，分别是AB=AE，AB=BE，AE=BE，从而得到最后答案．

详解：作AM⊥BC，DN⊥BC，

根据已知条件可得，BM=（BC-AD）÷2，

在直角三角形ABM中，cosB=，

则AB=（BC-AD）÷2÷cosB=3，

①当AB=AE′时，如图，

∠B=45°，∠AE′B=45°，

∴AE′=AB=3，

则在Rt△ABE′中，BE′=，

故E′C=4-3=．

易得△FE′C为等腰直角三角形，

故CF==2．

②当AB=BE″时，

∵AB=3，

∴BE″=3，

∵∠AE″B=∠BAE″=（180°-45°）÷2=67.5°，

∴∠FE″C=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴∠CFE″=180°-∠C-∠FE″C=67.5°，

∵△E″CF为等腰三角形，

∴CF=CE″=CB-BE″=4-3；

③当AE=BE′″时，△ABE′″和△CFE′″是等腰Rt△，

∴BE′″=，

∴CE′″=

∴CF=FE′″=.