Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC边的中点，连接DE．
（1）求证：DE与⊙O相切．
（2）若tanC= ，DE=2，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接DO，DB，

∴OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD．

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠CDB=90°．

∵E为BC的中点，

∴DE=BE，

∴∠EDB=∠EBD，

∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，

即∠EDO=∠EBO．

∵∠ABC=90°，

∴∠EDO=90°．

∴OD⊥ED于点D．

又∵OD是半径，

∴DE为⊙O的切线

（2）解：∵∠BDC=90°，点E为BC的中点，

∴DE= BC．

∵DE=2，

∴BC=4．

在直角△ABC中，tanC= ，

∴AB=BC× =2 ．

在直角△ABC中，由勾股定理得到AC=6．

又∵△ABD∽△ACB，

∴ = ，即 = ，

∴AD= ．

【解析】（1）如图，连接DO、DB．欲证明DE与⊙O相切，只需证得OD⊥DE即可；（2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”易求DE= BC=2，则BC=4；然后通过解直角△ABC求得AB=2 、由勾股定理求得AC=6；最后通过△ABD∽△ACB的对应边成比例求得AD= ．
【考点精析】关于本题考查的切线的判定定理和相似三角形的判定与性质，需要了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案．