Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；

（3）直接写出当∠A为多少度时，△DEF是等边三角形．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）∠DEF＝70°；（3）∠A＝60°

【解析】

（1）通过全等三角形的判定定理SAS证得△DBE≌△ECF，由“全等三角形的对应边相等”推知DE＝EF，所以△DEF是等腰三角形；

（2）由等腰△ABC的性质求得∠B＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，所以根据三角形内角和定理推知∠BDE+∠DEB＝110°；再结合△DBE≌△ECF的对应角相等：∠BDE＝∠FEC，故∠FEC+∠DEB＝110°，易求∠DEF＝70°；

（3）由（2）知，∠DEF＝∠B，于是得到∠B＝60°，推出△ABC是等边三角形，于是得到结论．

（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵AD+EC＝AB，AD+BD＝AB，

∴BD＝EC，

在△DBE和△ECF中

，

∴△DBE≌△ECF（SAS）

∴DE＝EF

∴DEF是等腰三角形．

（2）∵∠A＝40°，∠B＝∠C，

∴∠B＝∠C＝70°，

∴∠BDE+∠DEB＝110°．

∵△DBE≌△ECF．

∴∠FEC＝∠BDE，

∴∠FEC+∠DEB＝110°，

∴∠DEF＝70°，

（3）当∠A为60°时，△DEF是等边三角形，

理由：由（2）知，∠DEF＝∠B，

∵∠DEF＝60°，

∴∠B＝60°，

∵AB＝AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠A＝60°

∴∠B＝60°，

∵AB＝AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠A＝60°