Question

【题目】如图所示，AB是00的直径，BC是⊙O的切线，连接AC，交⊙0于D，E为弧AD上一点，连接AE，BE交AC于点F且,(1)求证CB=CF；(2)若点E到弦AD的距离为3，cos C=，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）6

【解析】试题分析：（1）如图1，通过相似三角形的对应角相等推知， 又由弦切角定理、对顶角相等证得 最后根据等角对等边证得结论；
（2）如图2，连接OE交AC于点G，设的半径是r.根据（1）中的相似三角形的性质证得∠4=∠5，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧的中点，则 然后通过解直角求得，则以求的值．

试题解析：(1)证明：如图1，

∵

又∵∠AEF=∠AEB，

∴△AEF∽△AEB，

∴∠1=∠EAB.

∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，

∴∠2=∠3，

∴CB=CF；

(2)如图2，连接OE交AC于点G，设的半径是r.

由(1)知,△AEF∽△AEB,则∠4=∠5.

∴.=,

∴OE⊥AD，

∴EG=3

且

即

解得,r=6,即的半径是6.