Question

【题目】如图，已知∠MON=90，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂点为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E、F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动。设运动时间为t秒（t＞0）。

（1）当t=1秒时，ΔEOF与ΔABO是否相似？请说明理由。

（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA，为什么？

（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得SΔAEF=S四边形ABOF ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）△EOF∽△ABO（2）EF⊥OA（3）t1=或t2=

【解析】试题分析：（1）由=及∠MON=∠ABE=90°，可得出△EOF∽△ABO．

（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．

（3）由已知S△AEF=S四边形ABOF．得出S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，从而可求出t的值．

试题解析：（1）∵t=1，

∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，

∵AB=3厘米，OB=4厘米，

∴，

∵∠MON=∠ABE=90°，

∴△EOF∽△ABO．

（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．

∵AB=3，OB=4．

∴．

又∵∠EOF=∠ABO=90°，

∴Rt△EOF∽Rt△ABO．

∴∠AOB=∠EOF．

∵∠AOB+∠FOC=90°，

∴∠EOF+∠FOC=90°，

∴EF⊥OA．

（3）如图，连接AF，

∵OE=1.5t，OF=2t，

∴BE=4﹣1.5t

∴S△FOE=OEOF=×1.5t×2t=t2，S△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，

S梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6

∵S△AEF=S四边形ABOF

∴S△FOE+S△ABE=S梯形ABOF，

∴t2+6﹣t=（4t+6），即6t2﹣17t+12=0，

解得t=或t=．

∴当t=或t=时，S△AEF=S四边形ABOF．