Question

【题目】如图，△ABC中，∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒.

（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；

（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；

（3）在（2）的情况下，若过点P作PE//BC，且在BC上有一点F，PE=CF，连结PF，

BE，试探索PF与BE的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）t=6秒；（2）t=6.5秒；（3）见解析.

【解析】

（1）根据勾股定理求出AB即可；

（2）根据面积公式分析进行分析即可；

（3）构造全等三角形，通过全等三角形的判定及其性质进行解答即可.

解：

（1）如图1， CP把△ABC的周长分成相等的两部分

∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm

∴

由题意得AP=2t-8，BP=10-（2t-8）=10-2t+8=18-2t

∵CP把△ABC的周长分成相等的两部分

∴AC+AP=BC+BP，即8+2t-8=6+18-2t，解得t=6（秒）；

（2）如图1，当CP把三角ABC的面积分成相等的两部分时，点必在AB边上，

若AP，BP分别为△APC，△BPC的底边，则△APC，△BPC有公共的高，

∵△APC，△BPC的面积相等，

∴AP=BP=5，

∴t==6.5（秒）.

（3）如图2，连接PC；

∵点P为直角△ABC斜边的中点，

∴PC=PB，∠PCF=∠PBC；

又∵PE///BC，

∴∠EPB=∠PBC，

∴∠EPB=∠PCF；

在△PCF与△BPE中

PC=PB ∠PCF=∠EPB CF=PE

∴△PCF≌△BPE（SAS）

∴PF=BE.