Question

【题目】如图，等腰△ABC三个顶点在⊙O上，直径AB=12，P为弧BC上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线与点Q，2∠PAB+∠PDA=90°，下列结论：①若∠PAB=30°，则弧BP的长为；②若PD//BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则，④无论点P在弧上的位置如何变化，CP·CQ为定值. 正确的是___________.

Answer 1

【答案】②③④.

【解析】试题解析：如图，连接OP，

∵AO=OP，∠PAB=30°，

∴∠POB=60°，

∵AB=12，

∴OB=6，

∴弧的长为=2π，故①错误；

∵PD是⊙O的切线，

∴OP⊥PD，

∵PD∥BC，

∴OP⊥BC，

∴=，

∴∠PAC=∠PAB，

∴AP平分∠CAB，故②正确；

若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，

∵OP⊥PD，

∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，

∴∠BOP=∠BPO，

∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，

∴PD=OP=6，故③正确；

∵AC=BC，

∴∠BAC=∠ABC，

又∵∠ABC=∠APC，

∴∠APC=∠BAC，

又∵∠ACP=∠QCA，

∴△ACP∽△QCA，

∴，即CPCQ=CA2（定值），故④正确；

故答案为：②③④．