Question

【题目】若一个整数能表示成a2＋b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”。例如5是“完美数”，因为5＝22＋12，再如M＝x2＋2xy＋2y2=(x＋y)2 ＋y2（x、y是正整数），所以M也是“完美数”。

（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；

（2）试判断(x2＋9y2)(4y2＋x2)（x、y是正整数）是否为“完美数”，并说明理由；

（3）已知S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k（x、y是正整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）小于10的“完美数”可以为8，29是“完美数”；（2）是“完美数”，理由见解析；（3）k=13，理由见解析.

【解析】

(1)利用定义便可求解.

(2)利用乘法公式求出乘积，然后配方将其变化与完美数进行比较，从而说明理由.

(3)利用配方，将S配成完美数，便可求解k的值.

解：（1）8=22+22

8是完美数.

29=

29是完美数.

(2) (x2＋9y2)(4y2＋x2)= =

因此也是完美数.

(3) S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k=

因此k-13=0

k=13