Question

【题目】如图所示，点D是等腰Rt△ABC的斜边BC上一动点，连接AD，作等腰Rt△ADE，使AD＝AE，且∠DAE＝90°连接BE、CE．

（1）判断BD与CE的数量关系与位置关系，并进行证明；

（2）当四边形ADCE的周长最小值是6时，求BC的值．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE；理由见解析；（2）BC＝3．

【解析】

（1）利用SAS证出△ABD≌△ACE，然后根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求出结论；

（2）根据周长公式即可求出，四边形ADCE的周长=2AD+BC，其中BC为定值，四边形ADCE的周长最小，即AD最小，当AD⊥BC时，根据垂线段最短，此时AD最小，则四边形ADCE的周长最小，根据三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得AD=BC，从而求出BC．

解：（1）BD＝CE，BD⊥CE；

理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴∠BCE＝90°，

∴BD⊥CE；

（2）∵四边形ADCE的周长=AD+AE+CE+CD=2AD+BD+CD=2AD+BC，其中BC为定值，

∴四边形ADCE的周长最小，即AD最小，

当AD⊥BC时，根据垂线段最短，此时AD最小，则四边形ADCE的周长最小，

∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC

∴AD=BC

∴此时四边形ADCE的周长= 2AD+BC=2×BC+BC=6

解得：BC＝3．