Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．

（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC=6，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC．如图1所示

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠OAC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴DA∥OC，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCD=90°，

即OC⊥DC，

∵OC为半径，

∴DC为⊙O的切线．

（2）解：连接BC，如图2所示：

∵AB是⊙O的直径，

∴AB=10，∠ACB=90°=∠ADC，

∴AC= =8，

又∵∠DAC=∠OAC，

∴△ACD∽△ABC，

∴ ，即 ，

解得：CD=4.8．

【解析】（1）根据切线的判定方法只要求出∠OCD=90°即可；由AC平∠DAB，得到∠DAC=∠OAC，由OA=OC，得到∠OCA=∠OAC，∠DAC=∠OCA，DA∥OC，因为AD⊥DC，所以∠ADC=90°，∠OCD=90°，即OC⊥DC，由OC为半径，所以DC为⊙O的切线；（2）由AB是⊙O的直径，根据勾股定理求出AC的值，又两角相等两三角形相似，得出△ACD∽△ABC，写出比例式求出CD的值.
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理的相关知识点，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．