Question

【题目】如图，抛物线y= x（x﹣k）经过原点O，交x轴正半轴于A，过A的直线交抛物线于另一点B，AB交y轴正半轴于C，且OC=OA，B点的纵坐标为9

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第一象限的抛物线上一点，连接PB、PC，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接OP、AP，若∠APO=45°，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，作BH⊥x轴于H．

由题意OC=OA=K，∠AOC=90°，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∵∠BHA=90°，

∴∠HBA=∠HAB=45°，

∴BH=AH=9，

∴OH=9﹣k，

∴B（k﹣9，9），

把B（k﹣9，9）代入y= x（x﹣k），

得到9= （k﹣9）×（﹣9），

∴k=5，

∴抛物线的解析式为y= x（x﹣5）．

（2）

解：如图2中，作BH⊥x轴于H，连接OP、PH、PA．设P[m， m（m﹣5）]．

∵P（﹣4，9），A（5，0），C（0，5），

∴S△PBC=S△PAB﹣S△PCA=（S△PBH+S△PHA﹣S△ABH）﹣（S△PCO+S△POA﹣S△AOC）

= ×9×（m+4）+ ×9× m（m﹣5）﹣ ×9×9﹣[ ×5×m+ ×5× m（m﹣5）﹣ ×5×5]

= m2﹣m﹣10（m＞5）．

（3）

解：如图3中设AC交OP于D，AC的中点为K，连接PK．

∵∠DPA=∠DCO=45°，∠PDA=CDO，

∴△PDA∽△CDO，

∴ = ，

∴ = ，∵∠CDP=∠ODP，

∴△CDP∽△ODA，

∴∠CPD=∠OAD=45°，

∴∠CPA=90°，

∵CK=KA，

∴PK= AC= ，

设P[m， m（m﹣5）]，

∵K（ ， ），

∴（m﹣ ）2+[ m（m﹣5）﹣ ]2=（ ）2，

整理得m（m﹣5）（m2﹣5m﹣4）=0，

∴m=0或5或 或 ，

∵m＞5，

∴m= ，

∴P（ ，1）．

【解析】（1）如图1中，作BH⊥x轴于H．由题意OC=OA=K，∠AOC=90°，推出∠OAC=∠OCA=45°，由∠BHA=90°，推出∠HBA=∠HAB=45°，推出BH=AH=9，推出OH=9﹣k，推出B（k﹣9，9），把B（k﹣9，9）代入y= x（x﹣k），解方程即可．（2）如图2中，作BH⊥x轴于H，连接OP、PH、PA．设P[m， m（m﹣5）]．根据S△PBC=S△PAB﹣S△PCA=（S△PBH+S△PHA﹣S△ABH）﹣（S△PCO+S△POA﹣S△AOC）计算即可．（3）如图3中设AC交OP于D，AC的中点为K，连接PK．只要证明∠CPA=90°，根据PK= ，利用两点间距离公式，列出方程，解方程即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形和函数关系式的相关知识点，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式才能正确解答此题．