Question

【题目】如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD=2∠BDC；
（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；
（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，设∠BDC=α，∠DAC=β，

则∠CAB=∠BDC=α，

∵点C为弧ABD中点，

∴ = ，

∴∠ADC=∠DAC=β，

∴∠DAB=β﹣α，

连接AD，

∵AB为⊙O直径，

∴∠ADB=90°，

∴α+β=90°，

∴β=90°﹣α，

∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣（β﹣α），

∴∠ABD=2α，

∴∠ABD=2∠BDC；

（2）解：∵CE⊥AB，

∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°，

∵∠CAB=∠CDB，

∴∠ACE=∠ADC，

∵∠CAE=∠ADC，

∴∠ACE=∠CAE，

∴AE=CE；

（3）解：如图2，连接OC，

∴∠COB=2∠CAB，

∵∠ABD=2∠BEC，∠BDC=∠CAB，

∴∠COB=∠ABD，

∵∠OHC=∠ADB=90°，

∴△OCH∽△ABD，

∴ ，

∵OH=5，

∴BD=10，

∴AB= =26，

∴AO=13，

∴AH=18，

∵△AHE∽△ADB，

∴ ，即 = ，

∴AE= ，

∴DE= ．

【解析】（1）如图1，设∠BDC=α，∠DAC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，连接AD，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到∠ACE=∠ADC，等量代换得到∠ACE=∠CAE，于是得到结论；（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代换得到∠COB=∠ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到AB= =26，由相似三角形的性质即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和垂径定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧才能正确解答此题．