Question

【题目】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设AP=x，则BQ=x，

∵∠BQD=30°，∠C=60°，

∴∠QPC=90°，

∴QC=2PC，即x+6=2（6﹣x），

解得x=2，

即AP=2

（2）

证明：如图，

过P点作PF∥BC，交AB于F，

∵PF∥BC，

∴∠PFA=∠FPA=∠A=60°，

∴PF=AP=AF，

∴PF=BQ，

又∵∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，

∴△DQB≌△DPF，

∴DQ=DP即D为PQ中点

（3）

运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3，

理由：∵PF=AP=AF，PE⊥AF，

∴ ，

又∵△DQB≌△DPF，

∴ ，

∴

【解析】（1）先判断出∠QPC是直角，再利用含30°的直角三角形的性质得出QC=2PC，建立方程求解决即可；（2）先作出PF∥BC得出∠PFA=∠FPA=∠A=60°，进而判断出△DQB≌△DPF得出DQ=DP即可得出结论；（3）利用等边三角形的性质得出EF= AF，借助DF=DB，即可得出DF= BF，最后用等量代换即可．
【考点精析】掌握等边三角形的性质是解答本题的根本，需要知道等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．