Question

【题目】平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，.已知.

（1）求,的坐标；

（2）求点的坐标及的面积；

（3）已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点.

①求证：.

②在点的移动过程中，给出以下两个结论：（i）的值不变；（ii）的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.

Answer 1

【答案】（1）A(0,4)，B(-2,0)；

(2)C(-4,6)；10.

(3)①见详解；②的值不变，等于.

【解析】

（1）根据非负数的性质，即可求出结果;

（2）如图，过点C作CF⊥y轴于F，先证△ACF≌△BAO，从而得到CF=OA，AF=OB，又因为点C在第四象限，故可得点C的坐标，根据勾股定理求得AC=AB=2，再根三角形的面积计算公式即可求得△ABC的面积；

（3）①过点E作EG⊥y轴于点G，先证△AGE≌△DOA，得到GE=OA=4，故GE=CF，再根据AAS证得△GPE≌△FOC，从而得到PC=PE；②利用面积法进行等量代换即可得到=.

解：（1）∵，

∴,解得：.

∴A(0,4)，B(-2,0).

(2)过点C作CF⊥y轴于F，

∴∠CFA=∠AOB=90°，

∴∠CAF+∠ACF=90°.

∵,

∴∠CAF+∠BAO=90°.

∴∠ACF=∠BAO

在△ACF和△BAO中

∴△ACF≌△BAO.

∴CF=OA=4,AF=OB=2

∵点C在第二象限，

∴C(-4,6).

在Rt△ABO中，

AB===2.

∵∠BAC=90°，AC=AB=2.

∴=AC==10.

(3)①过点E作EG⊥y轴于G，

∵∠EAD=90°，

∴∠DAO+∠GAE=90°.

∵∠AEG+∠GAE=90°,

∴∠DAO=∠AEG.

在△AOD和△EGA中

∴△AOD≌△EGA.

∴GE=OA=4.

∵CF=OA,

∴CF=GE.

∵CF⊥y轴,EG⊥y轴,

∴∠PGE=∠PFC=90°.

在△FPC和△GPE中

∴△FPC≌△GPE.

∴PC=PE.

②的值不变，理由如下：

∵PC=PE,

∴==.

∴=

∵△ACF≌△BAO,

∴=.

∵△AOD≌△EGA.

∴=

∵=+

∴=+

∵=+

∴=++

=++

=.

∴==.